17 18 19 22 24
ni
4 6 16 40 15 15 4
а) найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение;
б) построить на графике эмпирическую функцию распределения;
в) построить на графике полигон относительных частот;
г) построить на графике гистограмму относительных частот.
Решение:
А) 1) Для несгруппированных данных среднее арифметическое (выборочное среднее) определяется по формуле:
,
где n- объем выборки, х1, х2, … хn – результаты измерений.
В данном случае, n=100, тогда
2) Выборочная дисперсия определяется по формуле:
Dв=i=1nni(xi-xв)2n=4(15-18.59)2+6(16-18.59)2+16(17-18.59)2+40(18-18.59)2+100
+15(19-18.59)2+15(22-18.59)2+4(24-18.59)2100 = 4.40
3) Выборочное среднеквадратическое отклонение равно:
=Dв= 4,40=2,097.
4) Исправленную выборочную дисперсию определим по формуле:
S2=nn-1 Dв=100100-1*4.40=4.44
5) Исправленное среднеквадратическое отклонение равно:
S=S2=4.44=2.107.
Б) Эмпирической функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х<х:
F(x)= nxn,
где nx – число вариант, меньших х, n – объем выборки.
n = 100.
Наименьшая варианта равна 15, поэтому F(x) =0 при х≤15.
Значение Х<16, а именно х=15 наблюдалось 4 раза, следовательно F(x)=4/100=0,04 при 15<х≤16.
Значения Х<17, а именно х1=15 и х2=16 наблюдалось 4+6=10 раз, следовательно F(x)=10/100=0,1 при 16<х≤17.
Значения Х<18, а именно х1=15, х2=16 и х3=17 наблюдалось 4+6+16=26 раз, следовательно F(x)=26/100=0,26 при 17<х≤18.
Значения Х<19, а именно х1=15, х2=16, х3=17, х4=18 наблюдалось 4+6+16+40=66 раз, следовательно F(x)=66/100=0,66 при 18<х≤19.
Значения Х<22, а именно х1=15, х2=16, х3=17, х4=18, х5=19 наблюдалось 4+6+16+40+15=81 раз, следовательно F(x)=81/100=0,81 при 19<х≤22.
Значения Х<24, а именно х1=15, х2=16, х3=17, х4=18, х5=19, х6=22 наблюдалось 4+6+16+40+15+15=96 раз, следовательно F(x)=96/100=0,96 при 22<х≤24.
Т.к. х=24 – наибольшая варианта то F(x)=1 при х>24.
Напишем искомую эмпирическую функцию:
0 при х≤15,
0,04 при 15<х≤16,
0,1 при 16<х≤17,
0,26 при 17<х≤18,
0,66 при 18<х≤19,
0,81 при 19<х≤22,
0,96 при 22<х≤24,
1 при х>24.
F(x)=График этой функции представлен на рис.1.:
F(x)
1
0,81
0,5
0,26
0 12 15 18 22 24 х
Рис. 1. Эмпирическая функция распределения
В) Полигон относительных частот представляет собой ломанную, отрезки которой соединяют точки (х1, w1), …., (хi, wi) (рис. 2).
Относительные частоты для выборки представлены в таблице:
xi 15 16 17 18 19 22 24
wi=nin
0.04 0.1 0.16 0.4 0.15 0.15 0.04
Рис.2. Полигон относительных частот
Г) Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервала длины h, а высоты равны отношению wi/h. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех остальных частот, т.е. единице.
Для построения гистограммы относительных частот, разобьем вариационный ряд на интервалы. Количество интервалов определяем по формуле Стерджеса:
=1+3,32*lg100=8.
Определим шаг интервала:
=24-158=1,125
где – максимальное значение измеряемого показателя в упорядоченной (ранжированной) выборке; – минимальное значение показателя.
Нижняя граница первого интервала выбирается чуть меньшей или равной минимальному значению выборки, то есть от до .
Распределим варианты по интервалам и определим относительные частоты, результаты вычислений представлены в таблице:
№
интервала Границы
интервала Частота
ni
Относительная частота, wi=nin
Плотность частот, wi/h
1 [15-16.125] 10 10/100=0,1 0,1/1,125=0.09
2 (16.125-17.25] 16 0,16 0.14
3 (17.25-18.375] 40 0,4 0.36
4 (18.375-19.5] 15 0,15 0.13
5 (19.5-20.625] 0 0 0
6 (20.625-21.75] 0 0 0
7 (21.75-22.875] 15 0,15 0.13
8 (22.875-24] 4 0,04 0.04
Σ
100 1
wi/h
Гистограмма относительных частот представлена на рис.3.:
wi/h
0.36
0.13
0.13
0.14
0.04
0
0
0.09
x
0 15 16,125 17,25 18,375 19,5 20,625 21,75 22,875 24
Рис.3. Гистограмма относительных частот
6. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью P=0.99, зная выборочное среднее xв=11,3, объем выборки n=256 и генеральное среднеквадратическое отклонение σ=8.
Решение:
Интервальной оценкой (с надежностью Р) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней xв при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал:
xв- t(σ/n)˂ a ˂xв+t(σ/n),
где t(σ/n)=δ – точность оценки, n – объем выборки, t- значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)= P/2.
Ф(t)= P/2=0.99/2=0.495.
Тогда t=2.58
Подставляя все значения в выражение доверительного интервала, получим:
11.3-2.58*(8/256 ) ˂ a ˂ 11.3+2.58*(8/256 ).
Таким образом доверительный интервал равен:
10,01˂ a ˂12,59.
7. Для двух случайных величин Х, У проведена серия испытаний. Результаты испытаний записаны в следующую корреляционную таблицу:
Х
У -1 0 2 3 4 6
1 – 3 1 1 – –
2 1 2 3 – – –
3 – – 2 4 2 1
5 – – – 1 2 –
а) Вычислить выборочные средние, неуточненные дисперсии и среднеквадратические отклонения для обеих величин Х и У, ковариацию и коэффициент корреляции R(X, Y).
б) Проверить для доверительной вероятности P=0.9 значимость коэффициента корреляции R(X, Y), пользуясь критерием Стьюдента.
в) Написать уравнения прямых регрессии У на Х и Х на У.
г) В подходящем масштабе изобразить на графике все точки с координатами (х, у) из корреляционной таблицы и прямые регрессии.
Решение:
А) Найдем выборочные средние для величин Х и У:
х= (-1*1+0*(3+2)+2*(1+3+2)+3*(1+4+1)+4*(2+2)+6*1)/23=2.22,
у=1*(3+1+1)+2*(1+2+3)+3*(2+4+2+1)+5*(1+2)/23=2.56.
Выборочные дисперсии равны:
σ2x=М[x2]-(M[x])2= (-12*1+02*(3+2)+22*(1+3+2)+32*(1+4+1)+42*(2+2) +62*1)/23- 2.222=2.85
σ2y=М[y2]-(M[y])2=12*(3+1+1)+22*(1+2+3)+32*(2+4+2+1)+52*(1+2)/23- -2.562=1.45.
Тогда среднеквадратические отклонения равны:
σx=σх2=2.85=1.69
σу=σу2=1.45=1.2
Ковариация двух случайных величин определяется по формуле:
Cov(x,y)= M[(X-M(X))(Y-M(Y))]= (0*1*3+2*1*1+3*1*1+(-1)*2*1+0*2*2+ +2*2*3+2*3*2+3*3*4+4*3*2+6*3*1+3*5*1+4*5*2)/23-2.22*2.56=1.27
Коэффициент корреляции равен:
Rxy=Cov(x,y)σxσy=1.271.69*1.2=0.63
Б) Значимость коэффициента корреляции проверяется по критерию Стьюдента: t=Rxyn-11-Rxy2=0.63*23-11-0.632=4.9
При этом табличное значение критерия Стьюдента при 22 степенях свободы и доверительной вероятности 0,9 равно 1,7117.
Так как расчетное значение критерия Стьюдента выше табличного, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой.
В) Уравнение прямой регрессии у(х) имеет вид:
ух=Rxyх-хσхσу+у=0.63((х-2.22)/1.69)*1.2+2.56=0.45х+1.57
Уравнение прямой регрессии х(у) имеет вид:
ху=Rxyу-уσуσх+х=0.63((у-2.56)/1.2)*1.69+2.22=0.88у-0.06
Г) Построим на графике прямые регрессии и отобразим все точки с координатами (х, у)
y
x
Вариант 29
1. Найти вероятность того, что в 150 бросаниях игральной кости шестерка выпадет не менее 20 раз и не более 40 раз.
Решение:
Вероятность выпадения шестерки в каждом бросании постоянна и равна р=1/6. А вероятность не появления q=5/6
Для отыскания вероятности воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Р (k1, k2) = Ф(х’’) – Ф(x’).
где Ф(х) – функция Лапласа,
x’= (k1-np)/npq = (20-150*(1/6))/ 150*16*(56)=-1.1
x’’= (k2-np)/npq=(40-150*(1/6))/ 150*16*(56)=3.29
Ф(-1,1)= – Ф(1,1)= -0,3643
Ф(3,29) = 0,49931+ 0,49966-0,499313,40-3,20*(3,29-3,20)=0.49947
Р(20, 40) = 0,49947- (-0,3643)=0,86.
2. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х1 и х2, причем х1< х2. Известны вероятность р1=0,3 возможного значения х1, математическое ожидание М(Х)=3,7 и дисперсия D(Х)= 0,21. Найти закон распределения случайной величины.
Дано:
р1=0,3,
М(Х)=3,7,
D(Х)= 0,21,
х1< х2.
Найти закон распределения случайной величины.
Решение:
Сумма вероятностей всех возможных значений X равна 1, поэтому вероятность P2 того, что X примет значение X2 , равна P2 = 1 – P1 = 1 – 0,3 = 0,7Напишу закон распределения:
Х Х1
Х2
Р
0,3 0,7
Для отыскания х1 и х2 составлю систему из двух уравнений:
М(х)= х1р1+ х2р2,
D(x)= M(x2) – [M(x)]2.
Но М(х2)= хр1+ хр2 .
М(х)= х1р1+ х2р2,
D(x)= хр1+ хр2 – [M(x)]2.
3,7= 0,3х1+ 0,7х2,
0,21=0,3х+0,7х-3,72.
х1= (3,7-0,7х2)/0,3,
0,21=0,3((3,7-0,7х2)/0,3)2+0,7х-13,69,
0,21=(13,69-5,18х2+0,49 х)/0,3+0,7х-13,69,
0,7 х-5,18х2+ 9,52=0,
х= (5,18+))/(2*0,7)=4,
х= (5,18-))/(2*0,7)=3,4,
х= (3,7-0,7*4)/0,3=3,
х= (3.7-0,7*3,4)/0,3=4,4.
Учитывая условие х1<х2 верными для Х будут значения х1=3, х2=4.
Закон распределения:
Х 3 4
Р
0,3 0,7
3. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, х≤0;
F(X)= , 0<х≤2;
1, х>2.
Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Решение:
Плотность распределения вероятностей есть производная функции распределения и равна:
0, х≤0;
f(x)= F'(x)= , 0<х≤2;
0, х>2.
Математическое ожидание случайной величины равно:
М(х) = ====1,33
Дисперсия случайной величины определяется следующим образом:
D(х)= – [M(x)]2= – 1.332=-1.332 =-1.332=0,23
4. Известны математическое ожидание а=4 и среднеквадратическое отклонение σ=1,3 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал (3;4).
Решение:
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β) равна:
Р(α<Х<β)= Ф () – Ф (),
где Ф(х)= – функция Лапласа.
Подставляя значения, получим:
Р(3<Х<4)= Ф () – Ф ()= Ф(0)+Ф(0,77).
По таблице найдем значения функции: Ф(0)=0
Ф(0,77)=0,2794,
Р(3<Х<4)=0+0,2794=0,2794.
5. Задан вариационный ряд выборки:
xi 12,5 13 13,5 14 14,5 15 15,5
ni
5 15 40 25 8 4 3
а) найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение;
б) построить на графике эмпирическую функцию распределения;
в) построить на графике полигон относительных частот;
г) построить на графике гистограмму относительных частот.
Решение:
А) 1) Для несгруппированных данных среднее арифметическое (выборочное среднее) определяется по формуле:
,
где n- объем выборки, х1, х2, … хn – результаты измерений.
В данном случае, n=100, тогда
2) Выборочная дисперсия определяется по формуле:
Dв=i=1nni(xi-xв)2n=5(12,5-13,7)2+15(13-13,7)2+40(13,5-13,7)2+25(14-13,7)2+100
+8(14,5-13,7)2+4(15-13,7)2+3(15,5-13,7)2100 =0,4
3) Выборочное среднеквадратическое отклонение равно:
=Dв= 0,4=0,63
4) Исправленную выборочную дисперсию определим по формуле:
S2=nn-1 Dв=100100-1*0,4=0,404
5) Исправленное среднеквадратическое отклонение равно:
S=S2=0,404=0,636.
Б) Эмпирической функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х<х:
F(x)= nxn,
где nx – число вариант, меньших х, n – объем выборки.
n = 100.
Наименьшая варианта равна 12,5, поэтому F(x) =0 при х≤12,5.
Значение Х<13, а именно х=12,5 наблюдалось 5 раз, следовательно F(x)=5/100=0,05 при 12,5<х≤13.
Значения Х<13,5, а именно х1=12,5 и х2=13 наблюдалось 5+15=20 раз, следовательно F(x)=20/100=0,2 при 13<х≤13,5.
Значения Х<14, а именно х1=12,5, х2=13 и х3=13,5 наблюдалось 5+15+40=60 раз, следовательно F(x)=60/100=0,6 при 13,5<х≤14.
Значения Х<14,5, а именно х1=12,5, х2=13, х3=13,5, х4=14 наблюдалось 5+15+40+25=85 раз, следовательно F(x)=85/100=0,85 при 14<х≤14,5.
Значения Х<15, а именно х1=12,5, х2=13, х3=13,5, х4=14, х5=14,5 наблюдалось 5+15+40+25+8=93 раза, следовательно F(x)=93/100=0,93 при 14,5<х≤15.
Значения Х<15,5, а именно х1=12,5, х2=13, х3=13,5, х4=14, х5=14,5, х6=15 наблюдалось 5+15+40+25+8+4=97 раз, следовательно F(x)=97/100=0,97 при 15<х≤15,5.
Т.к. х=15,5 – наибольшая варианта то F(x)=1 при х>15,5.
Напишем искомую эмпирическую функцию:
0 х≤12,5,
0,05 при 12,5<х≤13,
0,2 при 13<х≤13,5
0,6 при 13,5<х≤14,
0,85 при 14<х≤14,5,
0,93 при 14,5<х≤15,
0,97 при 15<х≤15,5,
1 при х>15,5.
F(x)=График этой функции представлен на рис.1.:
F(X)
1
0.85
0.6
0.2
0
х
14,5
15,5
15
14
13
13,5
12,5
14,5
Рис. 1. Эмпирическая функция распределения
В) Полигон относительных частот представляет собой ломанную, отрезки которой соединяют точки (х1, w1), …., (хi, wi) (рис. 2).
Относительные частоты для выборки представлены в таблице:
xi 12,5 13 13,5 14 14,5 15 15,5
wi=nin
0,05 0,15 0,4 0,25 0,08 0,04 0,03
Рис.2. Полигон относительных частот
Г) Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервала длины h, а высоты равны отношению wi/h. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех остальных частот, т.е. единице.
Для построения гистограммы относительных частот, разобьем вариационный ряд на интервалы. Количество интервалов определяем по формуле Стерджеса:
=1+3,32*lg100=8.
Определим шаг интервала:
=15,5-12,58=0,375
где – максимальное значение измеряемого показателя в упорядоченной (ранжированной) выборке; – минимальное значение показателя.
Нижняя граница первого интервала выбирается чуть меньшей или равной минимальному значению выборки, то есть от до .
Распределим варианты по интервалам и определим относительные частоты, результаты вычислений представлены в таблице:
№
интервала Границы
интервала Частота
ni
Относительная частота, wi=nin
Плотность частот, wi/h
1 [12,5-12,875] 5 5/100=0,05 0,05/0,375=0.13
2 (12.875-13,25] 15 0,15 0.4
3 (13.25-13.625] 40 0,4 1,07
4 (13.625-14] 25 0,25 0.67
5 (14-14.375] 0 0 0
6 (14.375-14.75]
8 0,08 0,21
7 (14.75-15.125]
4 0,04 0.11
8 (15.125-15.5]
3 0,03 0.08
Σ
100 1
1,07
Гистограмма относительных частот представлена на рис.3.:
wi/h
0.67
0.4
0.21
0.08
0.11
0
0.13
x
0 12.5 12,875 13,25 13,625 14 14.375 14,75 15.125 15.5
Рис.3. Гистограмма относительных частот
6. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью P=0.95, зная выборочное среднее xв=75,1, объем выборки n=169 и генеральное среднеквадратическое отклонение σ=13.
Решение:
Интервальной оценкой (с надежностью Р) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней xв при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал:
xв- t(σ/n)˂ a ˂xв+t(σ/n),
где t(σ/n)=δ – точность оценки, n – объем выборки, t- значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)= P/2.
Ф(t)= P/2=0.95/2=0.475.
Тогда t=1.96
Подставляя все значения в выражение доверительного интервала, получим:
75.1-1.96*(13/169 ) ˂ a ˂ 75.1+1.96*(13/169 ).
Таким образом доверительный интервал равен:
73.14˂ a ˂75.06.
7. Для двух случайных величин Х, У проведена серия испытаний. Результаты испытаний записаны в следующую корреляционную таблицу:
Х
У 0 1 2 3 4 6
1 – 3 1 1 – –
3 1 2 3 – – –
4 – – 2 4 3 1
5 – – 1 4 2 –
а) Вычислить выборочные средние, неуточненные дисперсии и среднеквадратические отклонения для обеих величин Х и У, ковариацию и коэффициент корреляции R(X, Y).
б) Проверить для доверительной вероятности P=0.95 значимость коэффициента корреляции R(X, Y), пользуясь критерием Стьюдента.
в) Написать уравнения прямых регрессии У на Х и Х на У.
г) В подходящем масштабе изобразить на графике все точки с координатами (х, у) из корреляционной таблицы и прямые регрессии.
Решение:
А) Найдем выборочные средние для величин Х и У:
х= (0*1+1*(3+2)+2*(1+3+2+1)+3*(1+4+4)+4*(3+2)+6*1)/28=2.71,
у=1*(3+1+1)+3*(1+2+3)+4*(2+4+3+1)+5*(1+4+2)/28=3.5.
Выборочные дисперсии равны:
σ2x=М[x2]-(M[x])2=(02*1+12*(3+2)+22*(1+3+2+1)+32*(1+4+4)+42*(3+2)+ +62*1)/28- 2.712=0.87
σ2y=М[y2]-(M[y])2=12*(3+1+1)+32*(1+2+3)+42*(2+4+3+1)+52*(1+4+2)/28- -3.52=1.82.
Тогда среднеквадратические отклонения равны:
σx=σх2=0.87=0.93
σу=σу2=1.82=1.35
Ковариация двух случайных величин определяется по формуле:
Cov(x,y)= M[(X-M(X))(Y-M(Y))]= (1*1*3+2*1*1+3*1*1+0*3*1+1*3*2+ +2*3*3+2*4*2+3*4*4+4*4*3+6*4*1+2*5*1+3*5*4+4*5*2)/28-2.71*3.5=0.44
Коэффициент корреляции равен:
Rxy=Cov(x,y)σxσy=0.440.93*1.35=0.35
Б) Значимость коэффициента корреляции проверяется по критерию Стьюдента: t=Rxyn-11-Rxy2=0.35*28-11-0.352=2.07
При этом табличное значение критерия Стьюдента при 27 степенях свободы и доверительной вероятности 0,95 равно 2.0564.
Так как расчетное значение критерия Стьюдента выше табличного, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой.
В) Уравнение прямой регрессии у(х) имеет вид:
ух=Rxyх-хσхσу+у=0.35((х-2.71)/0.93)*1.35+3.5=0.51х+2.12
Уравнение прямой регрессии х(у) имеет вид:
ху=Rxyу-уσуσх+х=0.35((у-3.5)/1.35)*0.93+2.71=0.24у+1.87
Г) Построим на графике прямые регрессии и отобразим все точки с координатами (х, у)
annayou 5.0
Обучалась в аспирантуре. Работала в различных компаниях, что позволило мне приобрести обширный опыт в маркетинге. Поэтому мои работы сильны практической частью и имеют реальную прикладную ценность.Опыт в написании научных работ - 7 лет.
Готовые работы на продажу
Гарантия на работу 10 дней.
Найти числовые характеристики выборки и найти (при ) выборочное уравнение регрессии на
- Контрольная работа
- Статистика
- Выполнил: vladmozdok
1) Определите функциональную форму трендовых уравнений регрессии для изучаемых признаков и рассчитай
- Решение задач
- Эконометрика
- Выполнил: vladmozdok
На странице представлен фрагмент
Уникализируй или напиши новое задание с помощью нейросети
Похожие работы
Определить сопротивление растеканию сложного заземления
Определить сопротивление растеканию сложного заземления, состоящего из вертикальных стержневых заземлителей и горизонтальной полосы. Исходные данные принять по варианту, номер которого совпадает с последней...
3 Заносим числовые данные по задаче в 5 столбец и 6 столбец
3. Заносим числовые данные по задаче в 5 столбец и 6 столбец. Данные столбца 5 – это данные уровня притязаний, а столбца 6 – силы воли Кодируем переменные: для этого переходим с листа «представление...