Батарея состоит из трех орудий. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9 для одного из орудий и 0,6 для каждого из двух других. Наугад выбирают два орудия, и каждое из них стреляет один раз. Построить*… отклонение числа попаданий в мишень. Найти вероятность:
а) хотя бы одного попадания в мишень;
б) хотя бы одного непопадания в мишень.
Решение:
По условию р1=0,9, р2=0,6 и р3=0,6- вероятности поражения цели 1-м, 2-м и 3-м орудием. Тогда противоположные вероятности такие: q1=0,1, q2=0,4, q3=0,4
Составим закон распределения случайно величины Х- числа попаданий в цель при одном выстреле из трех орудий. Случайная величина Х может принимать одно из четырех значений: 0,1,2,3
Найдем соответствующие вероятности
Х=0- все три орудия промахнулись
Р(Х=0)= q 1* q 2* q 3=0,1*0,4*0,4=0,016
Х=1- попало одно из орудий – или первое попало, второе и третье промахнулись или второе попало, первое и третье промахнулись или третье попало, а первое и второе промахнулись.
Р(Х=0)= р1* q 2* q 3+ q 1* р 2* q 3+ q 1* q 2* р 3=0,9*0,4*0,4+0,1*0,6*0,4+0,1*0,4*0,6=0,192
Х=2- попало два орудия – или первое не попало, второе и третье попали или второе не попало, первое и третье попали или третье не попало, а первое и второе попали.
Р(Х=0)= q1* p 2* p 3+ p1* q 2* p 3+ p 1* p 2* q 3=0,1*0,6*0,6+0,9*0,4*0,6+0,9*0,6*0,4=0,468
Х=2- попали все три орудия
Р(Х=0)= р1* p 2* p 3=0,9*0,6*0,6=0,324
Закон распределения имеет вид:
Х 0 1 2 3
р
0,016 0,192 0,468 0,324
Математическое ожидание:
М(Х)=0*0,016+1*0,192+2*0,468+3*0,324=2,1
М(Х2)=02*0,016+12*0,192+22*0,468+32*0,324=4,98
Дисперсия:
Д(х)=4,68-2,12=0,27
Найдем вероятность а) хотя бы одного попадания в мишень- лучше всего найти как противоположную вероятность к тому, что мишень не будет поражена:
Р(А)=1-0,016=0,984
Найдем вероятность а) б) хотя бы одного непопадания в мишень.- лучше всего найти как противоположную вероятность к тому, что мишень будет поражена:
Р(А)=1-0,324=0,676
Оценивание, проверка статистических гипотез. Методические указания.
I. Из генеральной совокупности X сделана выборка объема n = 200. Требуется на основании этой выборки сделать аргументированное заключение о законе распределения генеральной совокупности и её основных числовых характеристиках. Для этого необходимо:
а) найти статистический ряд с числом интервалов, равным, например, 12;
б) построить гистограмму;
в) найти статистическую функцию распределения и построить ее график;
г) найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
д) найти доверительный интервал для математического ожидания с заданной надёжностью (доверительной вероятностью);
е) на основании критерия согласия (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.
0.873 0.029 0.743 1.279 0.764 2.131 -1.086 0.689 0.386 -1.496
0.078 0.093 0.012 -1.140 -0.749 -0.197 -1.901 -0.774 1.642 -0.026
-1.142 -0.848 0.505 -1.200 0.358 0.654 -0.379 0.214 -1.461 0.788
-0.204 -1.715 -0.059 -1.107 -1.298 0.365 -0.797 0.416 -0.614 2.202
0.396 -0.191 0.599 1.049 -0.158 -0.233 -1.190 -0.299 -0.541 1.387
1.140 0.706 -0.643 0.920 0.562 1.007 -0.038 -0.160 -0.687 0.323
-1.068 -1.533 -0.101 0.111 0.286 -0.082 1.903 2.815 -0.514 0.820
0.769 0.873 2.093 -0.620 0.508 0.371 0.877 -0.779 -1.002 -1.872
1.192 -1.799 0.830 -0.384 0.665 1.162 -0.455 1.664 0.359 -1.638
-0.168 -1.582 -0.153 -0.165 -2.129 0.515 0.470 -0.664 -0.432 1.294
-0.540 0.057 -0.711 -0.623 0.183 0.446 0.592 -0.982 0.184 1.586
-0.946 0.441 -1.151 -0.307 -0.970 -0.044 0.737 -0.738 0.139 1.660
-0.394 -0.030 0.106 -0.922 -1.315 2.134 0.043 0.042 -0.062 -0.850
0.170 -0.053 -0.330 -0.371 0.918 -2.029 -0.097 0.372 -0.176 0.381
-1.211 -1.455 -0.479 -1.465 -0.987 0.549 1.131 -1.853 -0.508 0.201
0.830 -0.213 1.958 0.966 0.627 -0.369 -0.086 -0.413 -0.271 1.482
-0.094 -1.821 -0.860 -1.903 -0.355 1.438 0.372 0.664 -0.583 -1.240
-0.459 1.468 -0.335 1.108 1.347 0.067 -0.154 -0.415 -1.412 -0.484
0.049 -0.464 -0.589 0.716 0.118 -0.228 0.515 -0.346 -1.066 0.785
-1.363 0.733 -0.312 0.186 -0.583 0.486 1.358 -0.061 0.555 -0.095
Решение:
Ширина интервала составит:
EQ h = f(Xmax – Xmin;n) EQ h = f(2.82 – (-2.13);10) = 0.49
Xmax – максимальное значение группировочного признака в совокупности.
Xmin – минимальное значение группировочного признака.
Определим границы группы.
Результаты группировки оформим в виде таблицы:
Группы
№ совокупности
Частота fi
-2.13 – -1.64 1,2,3,4,5,6,7,8,9 9
-1.64 – -1.15 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25 16
-1.15 – -0.66 26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48 23
-0.66 – -0.17 49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87 39
-0.17 – 0.32 88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126,127 40
0.32 – 0.81 128,129,130,131,132,133,134,135,136,137,138,139,140,141,142,143,144,145,146,147,148,149,150,151,152,153,154,155,156,157,158,159,160,161,162,163,164,165 38
0.81 – 1.3 166,167,168,169,170,171,172,173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183 18
1.3 – 1.79 184,185,186,187,188,189,190,191,192,193 10
1.79 – 2.28 194,195,196,197,198,199 6
2.28 – 2.77 200 1
Составим таблицу для расчета показателей.
Группы
xi Кол-во, fi xi * fi Накопленная частота, S |x – xср|*f (x – xср)2*f Частота, fi/n
-2.13 – -1.64 -1.88 9 -16.96 9 16.85 31.53 0.045
-1.64 – -1.15 -1.39 16 -22.3 25 22.11 30.55 0.08
-1.15 – -0.66 -0.9 23 -20.79 48 20.51 18.29 0.12
-0.66 – -0.17 -0.41 39 -16.15 87 15.67 6.3 0.2
-0.17 – 0.32 0.076 40 3.04 127 3.53 0.31 0.2
0.32 – 0.81 0.57 38 21.51 165 21.97 12.7 0.19
0.81 – 1.3 1.06 18 19.01 183 19.23 20.54 0.09
1.3 – 1.79 1.55 10 15.46 193 15.58 24.28 0.05
1.79 – 2.28 2.04 6 12.22 199 12.29 25.17 0.02
2.28 – 2.77 2.53 1 2.53 200 2.54 6.44 0.005
Итого
200 -2.44 150.27 176.12 1
Составим функцию распределения случайной величины:
F*x=0, x≤-2.130,045, -2.13<x≤-1.640,125, -1,64<x≤-1,150,245, -1,15<x≤-0,660,445, -0,66<x≤-0,170,645, -0,17<x≤0,320,835, 0,32<x≤0,810,925, 0,81<x≤1,30,975 1,3<x≤1,790,995, 1.79<x≤2.281, x>2.28
366585595250029343359525
00
3757295247651
001
576897529845005768975393700036658553937000
522033511620500522033514605000366585514605000
37572951308100.995
000.995
4671695844550038500051377950046736008255000
412305511430000366585511430000412305511430000
3757295374650.975
000.975
3663950286385
3758565958850.925
000.925
3300095209550033000952095500
3300095144145002842895144145003757295508000.835
000.835
2842895-381000
3757295952500.645
000.645
238569519050002842895190500023856951905000
3755390374650.445
000.445
192849512509500238569512509500192849512509500
37553901428750.0245
000.0245
150304537465001471295635000014712956350000
3764914685800.0125
000.0125
104584512001500104584512001500104584512001500
596392071755x
00x
560070102870002806708826500702945901700033000951073150.045
000.045
2825759398000
1314455715000
4686305080-1.64
4
00-1.64
4
9258305080-1.15
00-1.15
504063050802.77
002.77
449199050802.28
002.28
312039050801.3
001.3
266319050800.81
000.81
220599050800.32
000.32
17487905080-0.17
00-0.17
12915905080-0.66
00-0.66
36690305080 0 1.79
00 0 1.79
1028705080-2.13
00-2.13
График эмпирической функции распределения
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Выборочная средняя EQ xto(x) = f( ∑x • f;∑f) EQ xto(x) = f(-2.44;200) = -0.0122
Дисперсия EQ D = f(∑(xi – xto(x))2 f;∑f) EQ D = f(176.12;200) = 0.88
Несмещенная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
EQ S2 = f(∑(xi – xto(x))2 f;∑f-1) EQ S2 = f(176.12;199) = 0.89
Среднее квадратическое отклонение
EQ σ = r(D) = r(0.881) = 0.94
Оценка среднеквадратического отклонения.
EQ s = r(S2 ) = r(0.89) = 0.94
Доверительный интервал для генерального среднего EQ (xto(x) – tkp f(s;r(n)) ; xto(x) + tkp f(s;r(n)))
В этом случае 2Ф(tkp) = γ
Ф(tkp) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.475
tkp(γ) = (0.475) = 1.96
EQ ε = tkp f(s;r(n)) = 1.96 f(0.94;r(200)) = 0.13
(-0.0122 – 0.13;-0.0122 + 0.13) = (-0.14;0.12)
С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Проверка гипотез о виде распределения.
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона. EQ K = ∑f((ni – n pi)2;n pi)
где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа
EQ Фb(f(xi+1-xto(x);s)) – Фb(f(xi – xto(x);s))
где s = 0.94, xср = -0.0122
Теоретическая (ожидаемая) частота равна ni = npi, где n = 200
Интервалы группировки
Наблюдаемая частота ni
x1 = (xi – xср)/s x2 = (xi+1 – xср)/s Ф(x1) Ф(x2) Вероятность попадания в i-й интервал, pi = Ф(x2) – Ф(x1) Ожидаемая частота, 200pi Слагаемые статистики Пирсона, Ki
-2.13 – -1.64 9 -2.25 -1.73 -0.49 -0.46 0.0299 5.98 1.53
-1.64 – -1.15 16 -1.73 -1.21 -0.46 -0.39 0.0713 14.26 0.21
-1.15 – -0.66 23 -1.21 -0.69 -0.39 -0.25 0.13 26.4 0.44
-0.66 – -0.17 39 -0.69 -0.17 -0.25 -0.0675 0.19 37.48 0.0616
-0.17 – 0.32 40 -0.17 0.35 -0.0675 0.14 0.21 41.62 0.063
0.32 – 0.81 38 0.35 0.88 0.14 0.31 0.17 34 0.47
0.81 – 1.3 18 0.88 1.4 0.31 0.42 0.11 21.72 0.64
1.3 – 1.79 10 1.4 1.92 0.42 0.47 0.0534 10.68 0.0432
1.79 – 2.28 6 1.92 2.44 0.47 0.49 0.0201 4.02 0.98
2.28 – 2.77 1 2.44 3.01 0.49 0.5 0.00661 1.32 0.0784
200 4.5
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞).
Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке).
Kkp = χ2(10-2-1;0.05) = 14.06714; Kнабл = 4.5
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.
II. По данным таблицы – группированной выборки двумерного вектора (X,Y), требуется найти выборочное уравнение прямой – линии линейной регрессии Y на X.
yj*
xi* 55 65 70 75
50 24 16 0 0
60 0 75 45 0
70 0 0 10 30
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
EQ yx = rxy f(x – xto(x);σx) σy + xto(y)
Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
EQ xto(x) = = (50(24 + 16) + 60(75 + 45) + 70(10 + 30))/200 = 60
EQ xto(y) = = (55(24) + 65(16 + 75) + 70(45 + 10) + 75(30))/200 = 66.675
Дисперсии:
σ2x = (502(24 + 16) + 602(75 + 45) + 702(10 + 30))/200 – 602 = 40
σ2y = (552(24) + 652(16 + 75) + 702(45 + 10) + 752(30))/200 – 66.6752 = 31.07
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 6.32 и σy = 5.57
и ковариация:
Cov(x,y) = (50•55•24 + 50•65•16 + 60•65•75 + 60•70•45 + 70•70•10 + 70•75•30)/200 – 60 • 66.675 = 29.5
Определим коэффициент корреляции:
EQ rxy = f(Cov(x,y);σxσy) EQ rxy = f(29.5;6.32•5.57) = 0.8368
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
EQ yx = 0.8368 f(x – 60;6.32) 5.57 + 66.675
и вычисляя, получаем:
yx = 0.74 x + 22.43
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (60; 66.675) и точки расположены близко к линиям регрессии.
katyfoxy 5.0
рекламист + фриланс. Работаю за границей, поэтому английский на высшем уровне. Также компетентна в области маркетинга, психологии, имиджелогии, конфликтологии, менеджмента, экономики, филологии, информатики и это далеко не все:)
Готовые работы на продажу
Гарантия на работу 10 дней.
Батарея произвела 6 выстрелов по объекту Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0
- Контрольная работа
- Теория вероятностей
- Выполнил: vladmozdok
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p=0 1 Выстрелы производятся в независимости др
- Контрольная работа
- Теория вероятностей
- Выполнил: vladmozdok
На странице представлен фрагмент
Уникализируй или напиши новое задание с помощью нейросети
Похожие работы
Определить сопротивление растеканию сложного заземления
Определить сопротивление растеканию сложного заземления, состоящего из вертикальных стержневых заземлителей и горизонтальной полосы. Исходные данные принять по варианту, номер которого совпадает с последней...
3 Заносим числовые данные по задаче в 5 столбец и 6 столбец
3. Заносим числовые данные по задаче в 5 столбец и 6 столбец. Данные столбца 5 – это данные уровня притязаний, а столбца 6 – силы воли Кодируем переменные: для этого переходим с листа «представление...