7. Какие из следующих пар событий являются несовместными:
а) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 100 включительно: делится на 10; делится на 11;
б) нарушение в работе: первого; второго мотора летящего самолета;
в) попадание; промах при одном выстреле;
г) выигрыш; проигрыш в шахматной партии;
д) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 25 включительно является: четным; кратным трем?
Решение:
а) несовместная пара событий. Множество чисел, делящихся на 10:{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}, множество чисел, делящихся на 11:{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};
б) события совместны: могут произойти нарушения и первого, и второго мотора;
в) несовместная пара событий;
г) несовместная пара событий ( или проигрыш, или выигрыш);
д) совместное событие. Такими числами являются числа 6, 12, 18, 24.
19. Игральная кость бросается дважды. Каждому из 36 элементарных событий приписывается одна и та же вероятность. Найдите вероятность того, что сумма очков равна n для n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Решение:
Пусть событие An-(сумма выпавших очков равна n).
Для решения задачи используем классическое определение вероятностей:
PA=mn.
Количество равновозможных элементарных исходов равно
n=36.
1) для n=2: существует один благоприятствующий исход (1; 1):
m=1,
значит,
PA1=136;
2) для n=3: существует два благоприятствующих исхода (1; 2) и(2; 1):
m=2,
значит,
PA2=236=118;
3) для n=4: существует три благоприятствующих исхода (1; 3),(2; 2) и (1; 3):
m=3,
значит,
PA3=336=112;
4) для n=5: существует четыре благоприятствующих исхода (1; 4),(2; 3), (3; 2) и (4; 1):
m=4,
значит,
PA4=436=19;
5) для n=6: существует пять благоприятствующих исхода (1; 5),(2; 4), (3; 3), (4; 2) и (5; 1):
m=5,
значит,
PA5=536;
6) для n=7: существует шесть благоприятствующих исхода (1; 6),(2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2) и (6; 1):
m=6,
значит,
PA6=636=16;
7) для n=8: существует пять благоприятствующих исхода (2; 6),(3; 5), (4; 4), (5; 3) и (6; 2):
m=5,
значит,
PA7=536;
8) для n=9: существует четыре благоприятствующих исхода (3; 6),(4; 5), (5; 4) и (6; 3):
m=4,
значит,
PA8=436=19;
9) для n=10: существует три благоприятствующих исхода (4; 6),(5; 5) и (6; 4):
m=3,
значит,
PA9=336=112;
10) для n=11: существует два благоприятствующих исхода (5; 6) и (6; 5):
m=2,
значит,
PA10=236=118;
5) для n=12: существует один благоприятствующий исход (6; 6):
m=1,
значит,
PA11=136.
23. Дана электрическая цепь с элементами и (рис. 5).
Событие A1- выход из строя элемента e1, событие A2- выход из строя элемента e2. Что означает событие A1+A2?
Решение:
Событие
A1+A2
означает выход из строя или элемента e1, или элемента e2. Так как элементы соединены последовательно, то вся цепь выйдет из строя.
63. Пусть S — множество всех исходов при трехкратном бросании монеты. Обозначим через А событие «в первый раз выпал герб», через B событие «выпало не менее двух гербов». Найдите вероятности событий P(A), P(B) и P(AB) если все исходы бросаний равновероятны. Независимы ли эти события?
Решение:
1) Вероятность события А равна вероятности того, что при броске монеты выпадет герб. Так как равновозможных элементарных исходов 2, а благоприятствующий исход один, то по классическому определению вероятности:
PA=12=0,5.
2) обозначим Г – выпадание герба при одном бросании, Р – решки. Количество всех равновозможных элементарных исходов равно 8:
ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГРР, РГР, РРГ, РРР.
Количество исходов, удовлетворяющих событию B, равно 4:
ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ.
Значит,
PB=48=12=0,5.
3) Вероятность события AB- «в первый раз выпал герб и всего выпало хотя бы два герба», найдем, используя теорему умножения вероятностей:
PAB=PA∙B=PA∙PB=0,5∙0,5=0,25.
Ответ: PA=0,5;PB=0,5, PAB=0,25.
74. В букинистическом магазине продаются 6 экземпляров романа И. С. Тургенева «Рудин», 3 экземпляра романа «Дворянское гнездо» и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, имеется 5 томов, состоящих из романов «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 томов, состоящих из романов «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?
Решение:
Совершить покупку можно, выбрав отдельно изданные романы: выбор романа «Рудин» можно осуществить 6 способами, выбор романа «Дворянское гнездо» можно осуществить 3 способами, а выбор романа «Отцы и дети» можно осуществить 4 способами. Количество вариантов при таком выборе составит:
6∙3∙4=72.
Или покупку можно сделать, купив том, содержащий романы «Рудин» и «Дворянское гнездо» и отдельного издания романа «Отцы и дети». Такой выбор может быть сделан
5∙4=20
способами.
Или можно купить том, содержащий романы «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети» и отдельное издание романа «Рудин». Это можно сделать
7∙6=42
способами.
По правилу суммы, общее количество вариантов покупки:
72+20+42=134.
Ответ: 134.
79. В течение 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, 2 ветреных и холодных, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода?
Решение:
В сентябре было 12-5-3=5 только дождливых дней,
8-5-1=2 только ветреных дней,
4 дня было дождливо-ветреных,
2 дня – дождливо-холодных,
1 день – дождливо-ветрено-холодный,
1 день – ветрено-холодный.
Итого хороших дней в сентябре было
30-5+2+4+2+1+1=15.
Ответ: 15 дней.
107. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?
Решение:
Так юношей всего трое, то в одной команде должен быть один юноша, а в другой – два. Значит, достаточно найти количество способов сформировать команду из одного юноши и трех девушек.
Выбрать одного юношу из трех можно 3 способами, выбрать 3 девушек из 5 можно C53 способами.
По правилу умножения:
m=3∙C53=3∙5!3!∙5-3!=3∙5!3!∙2!=3∙4∙51∙2=30
способов.
Ответ: 30.
120. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найдите число таких номеров, если используются 24 буквы русского алфавита и 10 цифр (0, 1, …, 9).
Решение:
Найдем, сколько из 10 цифр можно составить четырехзначных номеров, при условии, что цифры могут повторяться:
nk=104=10000.
1. Если в номере одна буква. Из 24 букв можно составить 24 однобуквенных комбинаций, по правилу произведения, число номеров с одной буквой будет равно:
24∙10000=240000.
2. В номере две буквы. Из 24 букв можно составить
nk=242=576
двухбуквенных комбинаций, тогда число номеров с двумя буквами будет равно:
276∙10000=5760000.
3. В номере три буквы. Из 24 букв можно составить
n3=243=13824
трехбуквенных комбинаций, тогда число номеров с двумя буквами будет равно:
13824∙10000=138240000.
По правилу сложения, общее количество номеров составит:
240000+5760000+138240000=144240000.
Ответ: 14424000.
125. Какова вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число не содержит ни одной двойки?
Решение:
Используем классическое определение вероятности.
Пусть событие A-«наудачу выбранное число не содержит ни одной двойки».
Количество всех равновозможных элементарных исходов равно количеству двухзначных чисел:
n=90.
Количество чисел, содержащих одну или две двойка равно 18
(12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42 ,52 ,62, 72, 82, 92), значит, количество исходов, благоприятствующих событию A:
m=90-18=72.
Тогда искомая вероятность равна:
PA=mn=7290=0,8.
Ответ: 0,8.
142. В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и одной задаче. Всего составлено 28 билетов, содержащих разные вопросы и задачи. Студент подготовил только 50 теоретических вопросов и сможет решить задачи к 22 билетам. Какова вероятность того, что, вынув наудачу один билет, студент ответит на все вопросы?
Решение:
Пусть событие A- «студент ответит на все вопросы»,
событие A1- «студент ответит на первый вопрос»,
событие A2- «студент ответит на второй вопрос»,
событие A3- «студент решит задачу».
Найдем вероятность того, что студент ответит на первый вопрос. Количество равновозможных элементарных исходов равно количеству всех вопросов
n=2∙28=56.
Количество исходов, благоприятствующих событию A1, равно
m=50.
Тогда
PA1=mn=5056=2528.
Найдем вероятность того, что студент ответит на второй вопрос, если он ответил на первый вопрос. Количество равновозможных элементарных исходов равна
n=56-1=55.
Количество исходов, благоприятствующих событию A1, равно
m=50-1=49.
Тогда
PA2=4955.
Вероятность того, что студент сможет решить задачу, равна
PA2=2228=1114.
Событие A наступит, если произойдут все три события A1, A2, A3, его вероятность по теореме умножения вероятностей равна:
PA=PA1∙A2∙A3=PA1∙PA2∙PA3=2528∙4955∙1114=54∙11∙12=58=0,625.
Ответ: 0,625.
168. Вероятность появления события A хотя бы один раз при пяти независимых испытаниях равна 0,99757. Какова постоянная вероятность появления этого события при одном испытании?
Решение:
Вероятность противоположного события B-«событие A не появится ни разу при пяти независимых испытаниях» равна
PB=1-PA=1-0,99757=0,00243.
Используем формулу Бернулли:
Pnk=Cnk∙pk∙qn-k,
в нашем случае:
PB=P50=C50∙p0∙q5-0=5!0!∙5-0!∙1∙q5=5!0!∙5!∙1∙q5=q5=0,00243,
Находим:
q=50,00243=0,3,
Значит, искомая постоянная вероятность появления этого события при одном испытании равна
p=1-q=1-0,3=0,7.
Ответ: 0,7.
188. С торговой базы в магазин отправлено n доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна p, причем n велико, а p мало. Известно, что вероятность получения магазином четырех изделий, получивших дефекты, равна вероятности получения магазином пяти изделий с дефектами. Найдите вероятность того, что магазин получит семь изделий с дефектами.
Решение:
Для решения задачи, так как n велико, а p мало, используем формулу Пуассона:
Pnk=λkk!∙e-λ,
где λ=n∙p.
Вероятность получения магазином 4 изделий с дефектами равна:
Pn4=λ44!∙e-λ,
Вероятность получения магазином 5 изделий с дефектами равна:
Pn5=λ55!∙e-λ.
Так как по условию задачи эти вероятности равны, то можно составить уравнение, решив которое, найдем λ:
λ44!∙e-λ=λ55!∙e-λ,14!=λ5!,λ=5.
Теперь мы можем найти вероятность того, что магазин получит семь изделий с дефектами:
Pn7=577!∙e-5≈15,5∙0,0067≈0,104.
Ответ: 0,104.
192. Какие возможные значения может принимать случайная величина Y, означающая число образцов сплавов, используемых при испытании до первого разрушения или до полного израсходования всех образцов, если их имеется 6 штук?
Решение:
Случайная величина Y может принимать следующие значения:1, 2, 3, 4, 5, 6.
217. Набрасываются кольца на колышек или до первого попадания или до полного израсходования всех колец, число которых равно пяти. Покажите, что если вероятность набросить каждое кольцо на колышек равна 0,9, то математическое ожидание случайного числа брошенных колец равно 1,1111.
Решение:
Случайная величина X- количество брошенных колец может принимать следующие значения: 1, 2, 3, 4, 5.
Вероятность набросить кольцо на колышек при одном бросании p=0,9, вероятность промаха равна q=1-p=1-0,9=0,1.
Найдем вероятности, соответствующие этим значениям
Вероятность того, что первое кольцо будет наброшено на колышек равна:
PX=1=p=0,9.
Вероятность того, что первое кольцо не будет наброшено, а второе будет:
PX=2=q∙p=0,1∙0,9=0,09.
Вероятность того, что первые два кольца не будут наброшены, а третье будет равна:
PX=3=q∙q∙p=0,1∙0,1∙0,9=0,009.
Вероятность того, что только четвертое кольцо будет наброшено:
PX=4=q∙q∙q∙p=0,1∙0,1∙0,1∙0,9=0,0009.
Вероятность того, что будет брошено 5 колец, причем 5 кольцо может или быть наброшенным на колышек или произойдет промах, по теории сложения вероятностей равна:
PX=5=q∙q∙q∙q∙p+q∙q∙q∙q∙q=0,1∙0,1∙0,1∙0,1∙0,9+0,1∙0,1∙0,1∙0,1∙0,1=0,0001.
Запишем ряд распределения случайной величины X:
xi
1 2 3 4 5
pi
0,9 0,09 0,009 0,0009 0,0001
Находим математическое ожидание:
MX=1∙0,9+2∙0,09+3∙0,009+4∙0,0009+5∙0,0001=1,1111.
Ответ: 1,1111.
226. Контрольная работа состоит из четырех вопросов. На каждый вопрос дано по 5 ответов, среди которых имеется один правильный. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа X правильных ответов, полученных при простом угадывании, и найдите интегральную функцию распределения вероятностей этой случайной величины.
Решение:
Вероятность ответить правильно на вопрос равна:
p= 15=0,2.
Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие им вероятности найдем, воспользовавшись формулой Бернулли:
PX=n=Cknpnqk-n .
При n=4, k=X, p=0,2, q=1 – 0,2 =0,8
имеем:
PX=0=C40p0q4-0 =4!0!∙(4-0)!∙0,20∙0,84=4!0!∙4!∙0,20∙0,84=1∙1∙0,4096=0,4096;
PX=1=C41p1q4-1 =4!1!∙(4-1)!∙0,21∙0,83=4!1!∙3!∙0,21∙0,83=4∙0,2∙0,512=0,4096;
PX=2=C42p2q4-2 =4!2!∙(4-2)!∙0,22∙0,82=4!2!∙2!∙0,22∙0,82=3∙41∙2∙0,04∙0,64=0,1536;
PX=3=C43p3q4-3 =4!3!∙(4-3)!∙0,23∙0,81=4!3!∙1!∙0,23∙0,81=4∙0,008∙0,8=0,0256;
PX=4=C44p4q4-4 =4!4!∙(4-4)!∙0,24∙0,80=4!4!∙0!∙0,24∙0,80=1∙0,0016∙1=0,0016;
Составляем ряд распределения:
xi
0 1 2 3 4
pi
0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016
Найдем интегральную функцию распределения:
Fx=0, x<0,0,4096, 0≤x<1,0,4096+0,4096=0,8192, 1≤x<2,0,8192+0,1536=0,9728, 2≤x<3,0,9728+0,0256=0,9984, 3≤x<4,0,9984+0,0016=1, x≥4,
т.е.,
Fx=0, x<0,0,4096, 0≤x<1,0,8192, 1≤x<2,0,9728, 2≤x<3,0,9984, 3≤x<4,1, x≥4,
242. Случайная величина X задана плотностью вероятности:
px=2x при 0<x≤1,0 при x≤0 или x>1.
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=X3.
Решение:
Находим математическое ожидание:
MY=MX3=-∞+∞x3∙pxdx=01×3∙2xdx=201x4dx=2∙x5501=2515-05=25;
находим дисперсию:
DY=-∞+∞x6∙pxdx-MY2=01×6∙2xdx-252=201x6dx-425=2∙x6601-425=1316-06-425=13-425=25-1275=1375.
Ответ: MY=25, DY=1375.
253. На отрезке AB=a независимо друг от друга наудачу взяты 3 точки. Какова вероятность того, что все они лежат от точки A не далее, чем на b (b < a)?
Решение:
Используем геометрическое определение вероятности.
Вероятность того, что одна отдельно взятая точка лежит от точки A не далее, чем на b, равна:
p=ba,
тогда вероятность события C- «все точки лежат от точки A не далее, чем на b» равна:
PC=p3=b3a3.
Ответ: b3a3.
267. Применима ли к последовательности независимых случайных величин X1, X2, …Xn, …, имеющих равномерное распределение в промежутке ]a,b[, теорема Чебышева?
Решение:
К этим величинам можно применить теорему Чебышева если:
1) они попарно независимы,
2) имеют одно и то же математическое ожидание,
3) их дисперсии ограничены.
В нашем случае выполняется только первое условие, значит, теорема Чебышева неприменима.
269. Плотность вероятности случайной величины X, подчиненной нормальному закону распределения, задана функцией
px=Ae-x-4218.
Найдите коэффициент А и определите вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале]2; 5[.
Решение:
В нашем случае, как следует из плотности распределения, случайная величина имеет математическое ожидание a=4 и среднеквадратическое отклонение
2∙σ2=18,⟹σ=3.
Плотность нормального распределения имеет вид:
px=1σ2πe-x-a22σ2,
значит,
A=1σ2π=132π.
Тогда плотность вероятности случайной величины X:
px=132πe-x-4218.
Вероятность попадания случайной величины в интервал [a;b] можно определить по формуле:
Pα≤X≤β=Фβ-aσ-Фα-aσ,
где Фx-функция Лапласса.
Находим:
PX∉2;5=P-∞<X≤2+P5≤X<+∞=Ф2-43-Ф-∞-43+Ф+∞-43-Ф5-43=Ф-0,67-Ф-∞+Ф+∞-Ф0,33,
так как функция Лапласа нечетная, то
PX∉2;5=-Ф0,67+Ф+∞+Ф+∞-Ф0,33=2Ф+∞-Ф0,67-Ф0,33.
По таблице значений функции Лапласа находим:
Ф+∞=0,5; Ф0,67=0,2486; Ф0,33=0,1293,
значит, искомая вероятность равна:
PX∉2;5=2∙0,5-0,2486-0,1293=0,6221.
Ответ: A=132π, PX∉2;5=0,6221.
282. Выберите отрывок текста, содержащий 200 букв. Найдите относительную частоту появления: 1) гласной буквы, 2) буквы к, 3) буквы а.
Решение:
Для анализа возьмем стихотворение А. Блока «В день холодный в день осенний…»
В день холодный, в день осенний
Я вернусь туда опять
Вспомнить этот вздох весенний,
Прошлый образ увидать.
Я приду – и не заплачу,
Вспоминая, не сгорю.
Встречу песней наудачу
Новой осени зарю,
Злые времени законы
Усыпили скорбный дух.
Прошлый вой, былые стоны
Не услышишь – я потух.
Всего букв в тексте n=224.
1) Подсчитаем количество гласных букв в тексте: n1=90, относительная частота появления гласных букв в тексте равна
f1=n1n=90224=45112.
2) Подсчитаем количество букв «к»: n2=2, относительная частота появления этой буквы в тексте равна
f2=n2n=2224=1112.
3) Подсчитаем количество букв «а»: n3=10, относительная частота появления этой буквы в тексте равна
f3=n3n=10224=5112.
Ответ: 1) 45112, 2) 1112, 3) 5112.
291. Имеются данные о количестве студентов в 24 группах:
28 27 26 28 27 25 22 24
25 23 24 25 22 21 23 19
20 21 22 19 21 20 22 18
Вычислите значения X, DX, σX, aX, V.
Решение:
Упорядочив значения по возрастанию и подсчитав частоты появления значений случайной величины X, составим дискретный вариационный ряд:
xi
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 ∑
ni
1 2 2 3 4 2 2 3 1 2 2 24
Для удобства вычисления точечных характеристик, составим вспомогательную таблицу:
Номер интервала
i xi
ni
xini
xi-X2ni
xi-X3ni
1 18 1 18 25 -125
2 19 2 38 32 -128
3 20 2 40 18 -54
4 21 3 63 12 -24
5 22 4 88 4 -4
6 23 2 46 0 0
7 24 2 48 2 2
8 25 3 75 12 24
9 26 1 26 9 27
10 27 2 54 32 128
11 28 2 56 50 250
∑
24 552 196 96
Выборочная средняя:
X=1nxini=55224=23,
Выборочная дисперсия:D(X)=1nxi-X2ni=19623=8,52.
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
σ(X)=D(X)=8,52=2,92.
Центральный момент порядка:
μ3=1nxi-X3ni=9623=4,17.
Коэффициент асимметрии:
A=μ3σX3=4,172,923=0,167.
Коэффициент вариации:
V=σ(X)X∙100%=2,9223∙100%=12,69%.
298. В публицистическом тексте из 565 слов глагол встретился 75 раз. С доверительной вероятностью, равной 0,9, оцените вероятность появления глагола в произвольном публицистическом тексте.
Решение:
Так как n=575 достаточно большое, то воспользуемся приближенной формулой для определения границ доверительного интервала:
p1<p<p2,
где
p1=ω-t∙ω1-ωn, p2=ω-t∙ω1-ωn,
где
ω=mn=75565=0,133-
относительная частота появления глаголов.
Величину t найдем из уравнения
Фt=γ2=0,92=0,45,
из таблицы значений функции Лапласа определяем: t=1,65.
Находим:
p1=0,133-1,65∙0,1331-0,133565=0,133-0,023=0,11,
p2=0,133+1,65∙0,1331-0,133565=0,133+0,023=0,156.
Таким образом, вероятность появления глагола в произвольном публицистическом тексте находится в интервале (11%; 15,6%).
Ответ: (11%; 15,6%).
marimia 4.3
Бакалавр менеджмента - 2016 г., средний балл диплома 4,2; 2 курса магистратуры по профилю бизнес-аналитика - 2019 г.; Стаж работы по профилю 3,5 года, общий - 6,5 лет. Опыт написания академических работ более 6-ти лет.
На странице представлен фрагмент
Уникализируй или напиши новое задание с помощью нейросети
Похожие работы
Определить сопротивление растеканию сложного заземления
Определить сопротивление растеканию сложного заземления, состоящего из вертикальных стержневых заземлителей и горизонтальной полосы. Исходные данные принять по варианту, номер которого совпадает с последней...
3 Заносим числовые данные по задаче в 5 столбец и 6 столбец
3. Заносим числовые данные по задаче в 5 столбец и 6 столбец. Данные столбца 5 – это данные уровня притязаний, а столбца 6 – силы воли Кодируем переменные: для этого переходим с листа «представление...