X X1 -4 83 3 38 3 59 3 04 -1 83 -9 18 1 05 -2 92 -6 81 -6
X
X1 -4,83 3,38 3,59 3,04 -1,83 -9,18 1,05 -2,92 -6,81 -6,85
2,04 -0,1 3,17 -3,61 -1,31 2,25 -5,75 -6,06 0,02 2,31
X2 -1,75 -1,21 2,13 -1,84 -1,16 -4,91 -8,26 -11,69 -2,65 3,92
0,22 -2,47 -3,6 -3,61 2,79 8,12 -8,59 -1,43 -1,12 -2,19
X3 -6,12 -2,58 -0,86 -8,98 -7,57 -6,08 -2,52 -5,64 -5,13 1,38
4,72 -2,37 -6,45 -1,35 -1,91 -2,76 -2,62 -6,46 1,43 -4,3
Дана выборка X объема N=60.
1. Найти выборочную среднюю для X, X1, X2, X3
2. Найти выборочную дисперсию для X, X1, X2, X3
3. Построить гистограмму для элементов всей выборки
— шаг
Интервалы -11,69 .. -9,21 -9,21 .. -6,74 -6,74 .. -4,26 -4,26 .. -1,79 -1,79 .. 0,69 0,69 .. 3,17 3,17 .. 5,64 5,64 .. 8,12
xi*
середины интервалов -10,45 -7,98 -5,50 -3,02 -0,55 1,93 4,41 6,88
ni
1 7 11 15 11 9 5 1
Гистограмма:
4. Найти доверительный интервал для оценки мат. ожидания случайных величин X, X1 при неизвестном значении дисперсии (pдов=0,95).
Найдем доверительный интервал для случайной величины X
По таблице
Исправленная дисперсия:
Тогда
Найдем доверительный интервал для случайной величины X1
По таблице
Исправленная дисперсия:
Тогда
5. Найти доверительный интервал для оценки дисперсии случайных величин X, X1 при неизвестном значении мат. ожидания при pдов=0,95 и pдов=0,9 соответственно.
Найдем доверительный интервал для случайной величины X
По числу степеней свободы, равному 60-1=59, и по вероятности (1 – 0,95)/2 = 0,025 находим из таблицы распределения 2 величину 22 = 82,117. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,95)/2 = 0,975 получаем 12 = 39,662.
Найдем доверительный интервал для случайной величины X1
По числу степеней свободы, равному 20-1=19, и по вероятности (1 – 0,9)/2 = 0,05 находим из таблицы распределения 2 величину 22 = 30,144. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,9)/2 = 0,95 получаем 12 = 10,117
6. Построить корреляционную и ковариационную матрицы для случайных величин X1, X2, X3
Рассмотрим расчет коэффициентов ковариации и корреляции для случайных величин X1, X2, обозначим их X и Y.
Вычисляем коэффициент ковариации.
Коэффициент ковариации характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин Х и Y и вычисляется по формуле:
cov(X,Y) = 1
n
n
Σ
k = 1
(xk-Mx)(yk-My)
Вычислим значения центрированных величин (xk-Mx) и (yk-My) для всех элементов выборки. Результаты занесем в таблицу:
k
xk
yk
( хk-Mx )
( yk-My )
( хk-Mx )•( yk-My )
1 -4.83 -1.75 -3.41000 0.21500 -0.73315
2 3.38 -1.21 4.80000 0.75500 3.62400
3 3.59 2.13 5.01000 4.09500 20.51595
4 3.04 -1.84 4.46000 0.12500 0.55750
5 -1.83 -1.16 -0.41000 0.80500 -0.33005
6 -9.18 -4.91 -7.76000 -2.94500 22.85320
7 1.05 -8.26 2.47000 -6.29500 -15.54865
8 -2.92 -11.69 -1.50000 -9.72500 14.58750
9 -6.81 -2.65 -5.39000 -0.68500 3.69215
10 -6.85 3.92 -5.43000 5.88500 -31.95555
11 2.04 0.22 3.46000 2.18500 7.56010
12 -0.1 -2.47 1.32000 -0.50500 -0.66660
13 3.17 -3.6 4.59000 -1.63500 -7.50465
14 -3.61 -3.61 -2.19000 -1.64500 3.60255
15 -1.31 2.79 0.11000 4.75500 0.52305
16 2.25 8.12 3.67000 10.08500 37.01195
17 -5.75 -8.59 -4.33000 -6.62500 28.68625
18 -6.06 -1.43 -4.64000 0.53500 -2.48240
19 0.02 -1.12 1.44000 0.84500 1.21680
20 2.31 -2.19 3.73000 -0.22500 -0.83925
Вычислим ковариацию cov(X,Y) как среднее значение элементов последнего столбца таблицы.cov(X,Y) = 4.218535Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
Rx,y
= cov( X,Y )
σxσy
где cov( X,Y ) — ковариация случайных величин Х и Y
Составим таблицу.
k xk yk ( хk-Mx ) ( хk-Mx )2 ( yk-My ) ( yk-My )2
1 -4.83 -1.75 -3.41000 11.62810 0.21500 0.04622
2 3.38 -1.21 4.80000 23.04000 0.75500 0.57002
3 3.59 2.13 5.01000 25.10010 4.09500 16.76902
4 3.04 -1.84 4.46000 19.89160 0.12500 0.01562
5 -1.83 -1.16 -0.41000 0.16810 0.80500 0.64802
6 -9.18 -4.91 -7.76000 60.21760 -2.94500 8.67303
7 1.05 -8.26 2.47000 6.10090 -6.29500 39.62702
8 -2.92 -11.69 -1.50000 2.25000 -9.72500 94.57562
9 -6.81 -2.65 -5.39000 29.05210 -0.68500 0.46923
10 -6.85 3.92 -5.43000 29.48490 5.88500 34.63322
11 2.04 0.22 3.46000 11.97160 2.18500 4.77423
12 -0.1 -2.47 1.32000 1.74240 -0.50500 0.25503
13 3.17 -3.6 4.59000 21.06810 -1.63500 2.67323
14 -3.61 -3.61 -2.19000 4.79610 -1.64500 2.70602
15 -1.31 2.79 0.11000 0.01210 4.75500 22.61003
16 2.25 8.12 3.67000 13.46890 10.08500 101.70722
17 -5.75 -8.59 -4.33000 18.74890 -6.62500 43.89062
18 -6.06 -1.43 -4.64000 21.52960 0.53500 0.28622
19 0.02 -1.12 1.44000 2.07360 0.84500 0.71402
20 2.31 -2.19 3.73000 13.91290 -0.22500 0.05063
Вычислим произведение .Извлечем из последнего числа квадратный корень, получим значение σxσy.σxσy = 17.234861Вычислим коэффициент корреляции по формуле
Rx,y
= cov( X,Y )
σxσy
= 4.218535 / 17.234861 = 0.244768
Полученные коэффициенты корреляции и ковариации запишем в первую строку, второй столбец, а также вторую строку и первый столбец матриц ковариации и корреляции соответственно.
В ковариационной матрице диагональные элементы равны квадратам соответствующих среднеквадратических отклонений , в корреляционной — единицам.
Вычисляя аналогично коэффициенты для оставшихся пар случайных величин, получаем матрицы:
1) ковариационная матрица:
2) корреляционная матрица
7. Для случайных величин X1, X2 проверить гипотезу о равенстве мат. ожиданий
Выдвинем гипотезы:
Уровень значимости:
По таблице находим
, следовательно, гипотезу о равенстве мат. ожиданий принимаем.
8. Для случайных величин X1, X2 проверить гипотезу о равенстве дисперсий
Выдвинем гипотезы:
Уровень значимости:
и , следовательно, гипотезу о равенстве дисперсий принимаем.
9. Проверить гипотезу об однородности двух выборок X1, X2, беря по 10 первых значений из каждой выборки.
Уровень значимости:
Используем критерий Стьюдента
Определим выборочные средние и дисперсии для каждой из выборок (берем по 10 элементов)
По
Найти вероятность того что дни рождения 12 чел приходятся на различные месяца года
1
Найти вероятность того что, дни рождения 12 чел приходятся на различные месяца года.
Решение.
По классическому определению вероятности P=mn, где m – число элементарных исходов события A, т.е. в нашем случае, где событие A – дни рождения 12 чел приходятся на различные месяца года, m=12! (число всех перестановок); n=1212 – общее число исходов события, определим вероятность, то дни рождения 12 чел приходятся на различные месяца года, равна:
PA=12!1212;
P(A)≈0,537∙10-4.
2
Определить надежность системы, если известна надежность всех ее элементов?
276796520701000
329184010287022440901028700.3
6057902063750050730152813050024765279718172021520828000390144025590500
14859013271544253151803403291840180340224409018034011296651327150.60.70.9
276796526670000
0.8
Решение.
Задана электрическая схема системы, состоящей из пяти элементов. Событие
Ai отказ i – ого элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы элементов заданы:
PAi=pi.
p1=0,6;p2=0,7;p3=0,3;p4=0,8;p5=0,9.
Событие A состоит в безотказной работы всей системы за рассматриваемый промежуток времени.
Найдем вероятность P(A) безотказной работы системы.
Элементы 3 и 4 соединены параллельно, воспользуемся определением теоремы сложения вероятностей совместных случайных событий:
p3,4=p3+p4-p3p4
Или:
p3,4=1-1-p31-p4=1-q3q4
где q3=1-p3=0,7; q4=1-p4=0,2;
p3,4=1-0,7∙0,2=0,86.
Элементы 1,2,3-4 и 5 соединены последовательно, воспользовавшись определением теоремы умножения вероятностей для независимых событий, получим искомую вероятность P(A) безотказной работы системы:
PA=p1p2p3,4p5.
PA=0,6∙0,7∙0,86∙0,9=0,32508.
3.
Вероятность попадания мяча в корзину равна 0.4. составить закон распределения случайной величины Х- числа попаданий при 3 х бросках в корзину. Найти МХ и ДХ. Составить интегральную функцию распределения F(x) и построить ее график.
Решение.
1).
p=0,4-вероятность попадания мяча в корзину;
q=1-p=0,6-вероятность промаха;
n=3-количество произведенных бросков;
x=m-число успехов число попаданий.
По формуле Бернулли:Pnx=m=Cnmpmqn-m
0 попаданий: P3x=0=C300,400,63=0,216;
1 попадание: P3x=1=C310,410,62=0,432;
2 попадания: P3x=2=C320,420,61=0,288;
3 попадания: P3x=3=C330,430,60=0,064.
Условие нормировки выполняется:
i=14pi=1, 0,216+0,432+0,288+0,064=1,-верно.
Ряд распределения случайной величины x:
xi
0 1 2 3
pi
0,216 0,432 0,288 0,064
2).
Составим функцию распределения случайно величины x:
Наименьшая варианта равна 0, поэтому F*x=0 при x≤0,
Для значений x<1 (а именно x=0 ):F*x=0,216 при 0<x≤1,
Для значений x<2 (а именно x=0, x=1 ):F*x=0,216+0,432=0,648 при 1<x≤2,
Для значений x<3 (а именно x=0, x=1, x=2 ):F*x=0,216+0,432+0,288=0,936 при 2<x≤3,
Т.к. x=3 – наибольшая варианта, то F*x=1 при x>3.
Получим искомую функцию распределения:
F*x=0,при x≤0,0,216,при 0<x≤1,0,648,при 1<x≤2,0,936,при 2<x≤3,1,при x>3.
Построим полученную функцию распределения (ступенчатый вид):
x
F(x)
-0,5 0
0 0
0,5 0,216
1 0,216
1,5 0,648
2 0,648
2,5 0,936
3 0,936
3,5 1
4 1
3).
Математическое ожидание дискретной случайной величины x:
xi
0 1 2 3
pi
0,216 0,432 0,288 0,064
MX=i=14xi∙pi;
MX=0+0,432+0,576+0,192=1,2.
Второй начальный момент x:
MX2=i=14xi2pi=0+0,432+1,152+0,576=2,16.
Дисперсия x:
DX=MX2-MX2=2,16-1,22=0,72.
Среднее квадратическое отклонение x:
σx=DX≈0,848.
4
Х
Y 30 40 50 60 70 80 N
Y
30 3 6 12 7 2 – 30
36 – 2 8 10 2 1 23
42 – – 1 4 16 6 27
48 – – – 2 3 5 10
54 – – – – 4 6 10
N
x 3 8 21 23 27 18 N=100
γ =0.98
Решение.
Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать в виде:
yx=rxyx-xσxσy+y.
Уравнение линейной регрессии с x на y будем искать в виде:
xy=rxyy-yσyσx+x.
где x,y – выборочные средние величин x и y, σx,σy – выборочные среднеквадратические отклонения, rxy – коэффициент корреляции.
xi
30 40 50 60 70 80
ni
3 8 21 23 27 18
x=i=16xi∙nii=16ni;
x=90+320+1050+1380+1890+1440100=61,7.
σ2x=i=16xi-x2∙nii=16ni;
σ2x=3014,67+3767,12+2874,69+66,47+1860,03+6028,02100=176,11;
σx=σ2x≈13,271.
yj
30 36 42 48 54
nj
30 23 27 10 10
x=j=15yj∙njj=15nj;
y=900+828+1134+480+540100=38,82.
σ2y=j=15yj-y2∙njj=15nj;
σ2y=2333,772+182,9052+273,0348+842,724+2304,324100=59,3676;
σy=σ2y≈7,705.
Ковариация равна:
covx,y=30∙90+240+600+420+140100+36∙80+400+600+140+80100+42∙50+240+1120+480100+48∙120+210+400100+54∙280+480100-61,7∙38,82;
covx,y=447+468+793,8+350,4+410,4-2395,194=74,406.
Коэффициент корреляции:
rxy=74,406176,11∙59,3676≈0,73.
Уравнение линейной регрессии с y на x:
yx=0,73∙x-61,713,271∙7,705+38,82;
yx=0,422∙x+12,752.
Уравнение линейной регрессии с x на y:
xy=0,73∙y-38,827,705∙13,271+61,7;
xy=1,253∙y+13,046.
Построим линии регрессии (в excel):
yx=0,422∙x+12,752
x
Y(x)
30 25,412
40 29,632
50 33,852
60 38,072
70 42,292
80 46,512
xy=1,253∙y+13,046
y
X(Y)
30 50,636
36 58,154
42 65,672
48 73,19
54 80,708
Поле корреляции:
Значимость коэффициента корреляции.
Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:
tнабл=rxy∙n-21-rxy2;
tнабл=0,73981-0,5329≈10,574.
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид rr≠0, поэтому критическая область – двусторонняя.
По таблице критических точек распределения Стьюдента при k=98 и доверительной вероятности γ=0,98 находим критическую точку двусторонней критической области:
tкрит(98;0,98)=2,36906.
Так как tнабл>tкр – нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции отвергаем, другими словами, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, следовательно, случайные величины X и Y – коррелированы.
1) Бросают пять игральных костей Чему равна вероятность того
1) Бросают пять игральных костей. Чему равна вероятность того, что из пяти выпавших цифр одна — четная, а остальные — нечетные?
Решение:
Вероятность выпадения на игральной кости четных (2, 4, 6) чисел равна:
p=36=12
Вероятность выпадения на игральной кости нечетных чисел равна:
q=1-p=12
Искомая вероятность равна:
PA=C51*p*q4=5!1!*4!*12*124=532
2) В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Вычислите вероятность того, что из них на 6-м этаже:
а) не выйдет ни один;
б) выйдет один;
в) выйдут трое из них.
Решение:
Считаем, что для любого человека равновероятно выйти на любом из 8-ми этажей (со 2-го по 9-й), потому вероятность того, что человек выйдет на 6-м этаже равна:
p=18
Тогда вероятность того, что человек не выйдет на 6-м этаже равна:
q=1-p=78
Тогда искомые вероятности равны:
а) на 6-м этаже не выйдет ни один:
P=C50*p0*q5=1*1*785≈0,51
б) на 6-м этаже выйдет один:
P=C51*p1*q4=5!1!*4!*18*784≈0,37
в) на 6-м этаже выйдут три из них:
P=C53*p3*q2=5!3!*2!*183*782≈0,01
5) В интервале (1, 5) наугад выбирают пять точек. Найдите вероятность того, что из них:
а) две приходятся на интервал (1, 2) и три на интервал (3, 5);
б) две приходятся на интервал (1, 3) и три на интервал (2, 5);
в) на интервалы (1, 3) и (2, 5) приходится одинаковое количество точек;
г) на интервал (1, 2) приходится больше точек, чем на интервал (4, 5).
Решение:
а) две приходятся на интервал (1, 2) и три на интервал (3, 5):
Найдем вероятности попадания точки на соответствующие интервалы как отношение длины интервала к длине всего рассматриваемого интервала:
p(1,2)=2-15-1=14
p(3,5)=5-35-1=12
Тогда искомая вероятность равна:
P=C52*p1,22*p3,53=5!2!*3!*142*123=10128≈0,08
б) две приходятся на интервал (1, 3) и три на интервал (2, 5):
Интервалы полностью покрывают интервал (1, 5) и частично перекрывают друг друга. Потому искомое событие равнозначно следующему: две точки приходятся на интервал (1, 2) и три точки на интервал (3, 5). Найдем вероятности попадания точек на соответствующие интервалы:
p(1,2)=2-15-1=14
p(3,5)=5-35-1=12
Тогда искомая вероятность равна:
P=C52*p1,32*p3,53=5!2!*3!*142*123=10128≈0,08
в) на интервалы (1, 3) и (2, 5) приходится одинаковое количество точек:
Интервалы полностью покрывают интервал (1, 5) и частично перекрывают друг друга. Рассмотрим вероятности попадания на три интервала:
p(1,2)=2-15-1=14
p(2,3)=3-25-1=14
p(3,5)=5-35-1=12
Искомое событие равнозначно следующему событию: на интервал (2, 3) – общий для двух первоначальных, придется нечетное количество точек (1, 3, 5), а на интервалы (1,2) и (3,5) соответственно – по 2, 1, 0 точек.
Найдем вероятности этих событий:
Pна общем интервале 1 точка=С52*p1,22*С31*p2,3*p3,52
Pна общем интервале 1 точка=5!2!*3!*142*3*14*122=30256
Pна общем интервале 3 точки=С51*p1,21*С43*p2,33*p3,51
Pна общем интервале 3 точки=5*14*4*143*12=20512
Pна общем интервале 5 точек=p2,35=145=11024
Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих трех событий:
P=30256+20512+11024=1611024≈0,16
г) на интервал (1, 2) приходится больше точек, чем на интервал (4, 5):
Найдем вероятности попадания точки на соответствующие интервалы:
p(1,2)=2-15-1=14
p(4,5)=5-45-1=14
Искомое событие разобьем на три составляющих:
– на интервал (4, 5) приходится 0 точек, а на интервал (1, 2) приходится как минимум одна:
Вычислим вероятность того, что на интервал (4, 5) приходится 0 точек, т.е. они все приходятся на интервал (1, 4):
PH1=p1,45=(1-p4,5)5=345=2431024
Вычислим вероятность того, что все точки приходятся на интервал (2, 4):
PH2=p2,45=(p1,4-p1,2)5=34-145=132
Тогда вероятность того, что на интервал (4, 5) приходится 0 точек, а на интервал (1, 2) приходится как минимум одна равна:
P1= PH1-PH2=2431024-132=2111024
– на интервал (4, 5) приходится 1 точка, а на интервал (1, 2) приходится как минимум две:
Этому событию соответствует три исхода:
– на интервал (4, 5) приходится 1 точка, на интервал (1, 2) – две точки, на интервал (2, 4) – две точки:
PH0=С51*p4,51*С42*p1,22*p2,42=5*14*4!2!2!*142*122=30256
– на интервал (4, 5) приходится 1 точка, на интервал (1, 2) – три точки, на интервал (2, 4) – одна точка:
PH1=С51*p4,51*С43*p1,23*p2,41=5*14*4*143*12=20512
– на интервал (4, 5) приходится 1 точка, на интервал (1, 2) – четыре точки:
PH2=С51*p4,51*p1,24=5*14*144=51024
Тогда вероятность того, что на интервал (4, 5) приходится 1 точек, а на интервал (1, 2) приходится как минимум две, равна:
P2=PH0+PH1+PH2=30256+20512+51024=1651024
– на интервал (4, 5) приходится 2 точки, а на интервал (1, 2) приходится три:
P3=С52*p4,52*p1,23=5!2!*3!*142*143=101024
Тогда вероятность того, что на интервал (1, 2) приходится больше точек, чем на интервал (4, 5) равна:
P=P1+P2+P3=2111024+1651024+101024=193512≈0,38
7) Монету бросают раз — до тех пор, пока хотя бы одна из ее сторон не выпадет дважды (не обязательно подряд). Составьте ряд распределения случайной величины ; постройте график функции распределения этой величины; вычислите и .
Решение:
Вероятности выпадения одной из сторон монеты равны между собой и равны ½.
Очевидно, что случайная величина принимает только два значения: 2 (дважды подряд выпала одна из сторон монеты) и 3 (при первых двух бросаниях выпали разные стороны монеты, тогда при следующем бросании одна из сторон выпадет второй раз).
Вычислим вероятность того, что понадобилось два броска монеты для того, чтобы одна из сторон выпала дважды:
P(ξ=2)=C21*122=2*14=12
Тогда вероятность того, что монету бросали трижды, равна:
Pξ=3=1-Pξ=2=12
Получили ряд распределения:
2 3
P( ) ½ ½
Найдем математическое ожидание случайной величины :
Mξ=i=12ξi*Pξi=2*12+3*12=2,5
Найдем дисперсию случайной величины :
Dξ=i=12(ξ-Mξ)2*Pξi=(2-2,5)2*12+(3-2,5)2*12=0,25
Функция распределения имеет вид:
Fξ=0, ξ≤20.5, 2<ξ≤31, ξ>3
Для дискретной случайной величины функция распределения является кусочно-постоянной функцией, имеющей точки разрыва в точках i. При этом функция распределения непрерывна слева:
11) В лифт 12-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Сколько из них в среднем выйдет на 10-м этаже?
Решение:
Составим ряд распределения случайной функции х – количество человек, вышедших на 10 этаже.
Считаем, что для любого человека равновероятно выйти на любом из 11-ти этажей (со 2-го по 12-й), потому вероятность того, что человек выйдет на 10-м этаже равна:
p=111
Тогда вероятность того, что человек не выйдет на 10-м этаже равна:
q=1-p=1011
Величина х принимает значения от 0 до 5, а среднее количество человек, вышедших на 10-м этаже будет равно математическому ожиданию случайной величины х:
px=0=C50*p0*q5
px=1=C51*p1*q4
px=2=C52*p2*q3
px=3=C53*p3*q2
px=4=C54*p4*q1
px=5=C55*p5*q0
Mx=i=05xi*pxi
Mx=i=0ki*Cki*pi*qk-i=k*p=511
Поскольку имеем дело не с абстрактными цифрами, а с количеством людей, то можно сказать, что в среднем на 10-м этаже выйдет 5/11≈0 человек.
15) По заданной функции распределения случайной величины вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины =| |.
Fx=0, x≤-30.25, -3<x≤-10.5,-1<x≤ 31, x>3
Решение:
Вид функции распределения случайной величины говорит о том, что является дискретной случайной величиной, принимающей следующие значения с вероятностью:
ξ=-3, pξ=-3=0.25-0=0.25
ξ=-1, pξ=-1=0.5-0.25=0.25
ξ=3, pξ=3=1-0.5=0.5
Тогда случайная величина =| | принимает значения со следующими вероятностями:
η=3, pξ=-3=0.25
η=1, pξ=-1=0.25
η=3, pξ=3=0.5
Т.е. ряд распределения случайной величины :
1 3
P( ) 0,25 0,75
Найдем математическое ожидание случайной величины :
Mη=i=12ηi*Pηi=1*0,25+3*0,75=2,5
Найдем дисперсию случайной величины :
Dη=i=12(η-Mη)2*Pηi=(1-2,5)2*0,25+(3-2,5)2*0,75=0,75